2.1.2 상태 공간(State-Space) 모델과 현대 제어: 다입력 다출력(MIMO) 시스템의 해석

1. 서론: 제어 패러다임의 전환과 상태 공간의 태동

1.1 고전 제어의 한계와 주파수 영역의 황혼

1950년대까지 제어 공학의 세계는 주파수 영역(Frequency Domain)이 지배하고 있었다. 라플라스 변환(Laplace Transform)을 기반으로 한 전달 함수(Transfer Function) 이론은 나이퀴스트(Nyquist), 보드(Bode), 니콜스(Nichols) 선도와 같은 강력한 그래픽 도구들을 제공하며 단일 입력-단일 출력(SISO: Single-Input Single-Output) 시스템의 해석에 결정적인 기여를 했다.1 이 시기의 엔지니어들은 시스템을 블랙박스로 간주하고, 입력에 대한 출력의 주파수 응답만을 통해 시스템의 안정성을 판별하였다. 주파수 영역 해석은 신호가 특정 주파수 대역에서 얼마나 존재하는지를 명확히 보여주며, 잡음 제거(Filtering)와 같은 신호 처리 관점에서 직관적인 통찰을 제공했다.1

그러나 1950년대 후반, 항공우주 산업의 급격한 발전과 우주 경쟁(Space Race)의 시작은 제어 공학에 새로운 도전을 제기했다. 로켓, 인공위성, 고성능 항공기와 같은 시스템들은 본질적으로 다수의 액추에이터와 센서가 복잡하게 얽힌 다입력 다출력(MIMO: Multiple-Input Multiple-Output) 시스템이었다. 고전적인 전달 함수 접근법은 이러한 MIMO 시스템을 다룰 때 심각한 구조적 한계에 봉착했다. 입력과 출력의 쌍(Pair)마다 별도의 전달 함수를 정의해야 했으며, 이는 변수의 수가 늘어날수록 시스템의 전체적인 거동을 파악하는 것을 기하급수적으로 어렵게 만들었다.3 더구나 전달 함수는 시스템의 ’입출력 관계’만을 기술할 뿐, 시스템 내부의 ’상태(State)’가 어떻게 변화하는지에 대한 정보는 소거해 버리는 특성이 있었다. 이는 초기 조건이 0이 아닌 경우나, 시스템 내부의 에너지가 발산하는 불안정성을 감지하는 데 치명적인 약점이 되었다.

1.2 루돌프 칼만과 현대 제어 이론의 여명

이러한 한계를 극복하고 현대 제어(Modern Control)의 문을 연 것은 1960년을 전후로 발표된 루돌프 칼만(Rudolf E. Kálmán)의 일련의 혁명적인 논문들이었다.4 칼만은 주파수 영역 대신 시간 영역(Time Domain)에서의 미분 방정식을 직접 다루는 ’상태 공간(State-Space) 기법’을 제창하였다. 그의 1960년 논문 “On the General Theory of Control Systems“와 “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems“는 제어 이론의 근간을 송두리째 바꾸어 놓았다.5

칼만은 시스템을 기술하는 데 있어 ’상태(State)’라는 개념을 도입함으로써, 물리적 시스템의 동역학을 n차원 벡터 공간에서의 1계 미분 방정식으로 표현하는 체계를 확립했다. 이는 변수의 개수와 상관없이 일관된 수학적 표현(행렬과 벡터)을 가능하게 했으며, 특히 MIMO 시스템의 해석과 설계에 있어 획기적인 돌파구를 마련했다.3 칼만이 도입한 가제어성(Controllability)과 가관측성(Observability) 개념은 제어 시스템의 구조적 한계를 수학적으로 명확히 규명했으며, 이는 단순한 수학적 유희가 아니라 실제 시스템을 설계할 때 센서와 액추에이터를 어디에 배치해야 하는지에 대한 공학적 해답을 제시해 주었다.4

본 장에서는 현대 제어 이론의 핵심인 상태 공간 모델을 MIMO 시스템의 관점에서 심층적으로 해석한다. 행렬 대수를 통해 시스템 내부의 물리적 결합(Coupling)이 어떻게 표현되는지, 그리고 로보틱스와 같은 실제 복잡계에서 상태 공간 모델이 어떻게 적용되는지를 상세히 분석할 것이다.

2. 상태 공간(State-Space) 모델의 수학적 기초

2.1 상태(State)의 정의와 철학적 의미

상태 공간 모델링의 출발점은 ’상태 변수(State Variable)’의 정의에 있다. 시스템 이론에서 상태란 “어떤 시점 t_0에서의 값을 알고 있고, 그 이후 t \ge t_0 구간에서의 입력 u(t)를 알면, t \ge t_0인 모든 미래 시점에서의 시스템의 거동(출력 및 내부 상태)을 완전히 결정할 수 있는 최소한의 변수 집합“으로 정의된다.8

이는 시스템이 과거의 모든 이력을 현재의 상태 값에 압축하여 저장하고 있음을 의미한다. 즉, 상태 변수는 시스템의 ’메모리’이다. 기계 시스템에서는 위치와 속도가, 전기 시스템에서는 커패시터의 전압과 인덕터의 전류가 대표적인 상태 변수가 된다. 이들은 각각 위치 에너지, 운동 에너지, 전기장 에너지, 자기장 에너지를 저장하는 물리량들이다.

2.2 선형 시불변(LTI) MIMO 시스템의 표현

가장 널리 사용되는 선형 시불변(Linear Time-Invariant, LTI) 시스템의 상태 공간 방정식은 다음과 같은 행렬 미분 방정식 형태로 기술된다.9
\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) \quad \text{(상태 방정식)} \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t) \quad \text{(출력 방정식)} \end{aligned}
이 식에 등장하는 각 요소는 MIMO 시스템의 특성을 결정짓는 중요한 물리적 의미를 내포한다.

MIMO 시스템이 SISO 시스템과 근본적으로 다른 점은 변수들이 스칼라가 아닌 벡터라는 점이다. 따라서 시스템의 해석은 선형 대수학(Linear Algebra)의 영역으로 확장되며, 행렬의 고유값(Eigenvalue), 랭크(Rank), 영공간(Null Space) 등의 개념이 시스템의 물리적 특성을 설명하는 핵심 도구가 된다.3

2.3 시간 영역과 주파수 영역 해석의 비교

상태 공간 모델(시간 영역)과 전달 함수 모델(주파수 영역)은 동일한 선형 시스템을 바라보는 두 가지 다른 관점이다. 그러나 MIMO 시스템, 특히 로보틱스와 같은 복잡한 시스템을 다룰 때 두 접근법의 효용성은 크게 달라진다.1

특히 로봇 제어와 같이 실시간으로 변하는 동역학을 다루거나, 초기 자세가 중요한 시스템에서는 상태 공간 모델이 유일한 대안이 된다.11 주파수 영역 해석은 여전히 제어기의 강인성(Robustness)이나 노이즈 감쇄 성능을 평가하는 데 유용하지만, 시스템의 모델링과 제어기 설계의 주도권은 현대 제어 이론인 상태 공간법으로 넘어왔다.

3. 시스템 행렬 A의 심층 해석: 결합(Coupling)과 물리적 상호작용

MIMO 시스템의 가장 큰 특징이자 난제는 ’교차 결합(Cross-Coupling)’이다. 하나의 입력이 여러 출력에 영향을 미치고, 하나의 상태 변화가 다른 상태들의 변화를 유발하는 현상이다. 상태 공간 모델에서 이러한 현상은 시스템 행렬 \mathbf{A}의 비대각(Off-diagonal) 요소들에 의해 수학적으로 표현된다.

3.1 대각 요소와 비대각 요소의 물리적 의미

행렬 \mathbf{A}의 (i, j) 번째 요소 a_{ij}는 j번째 상태 변수 x_j가 i번째 상태 변수의 시간 변화율 \dot{x}_i에 기여하는 가중치를 의미한다.

• 대각 요소 (a_{ii}): 자기 상관성

i번째 상태 변수 자신이 자신의 변화율에 미치는 영향이다. 예를 들어, 1차 시스템 \dot{x} = -ax에서 a는 감쇠(Decay) 속도를 결정한다. 대각 요소가 음수라면 해당 상태는 스스로 안정화되려는 성질을 가지며, 양수라면 발산하려는 성질을 갖는다.

• 비대각 요소 (a_{ij}, i \neq j): 상호 결합(Coupling)

x_j의 값이 x_i의 변화를 유발한다는 것은 두 물리량이 서로 얽혀 있음을 의미한다. 만약 \mathbf{A} 행렬이 대각 행렬(Diagonal Matrix)이라면, 모든 a_{ij} (i \neq j)는 0이 되고, 시스템의 미분 방정식들은 서로 독립적인 n개의 식 \dot{x}_i = a_{ii}x_i + b_iu_i로 분리(Decoupled)된다. 이 경우 MIMO 시스템은 단순히 n개의 SISO 시스템의 집합과 같아져 제어가 매우 쉽다. 하지만 실제 물리 시스템, 특히 로봇과 같은 기계 시스템에서는 비대각 요소가 0이 아닌 경우가 대부분이며, 이것이 제어를 어렵게 만드는 주원인이다.10

3.2 물리적 결합의 구체적 사례: 관성 텐서와 코리올리 힘

로보틱스나 회전체 역학에서 비대각 요소의 의미를 가장 잘 보여주는 예는 관성 텐서(Inertia Tensor) \mathbf{I}이다. 강체의 회전 운동 에너지나 각운동량을 기술할 때, 관성 텐서의 비대각 성분 I_{xy}, I_{yz}, I_{zx} 등은 회전축 간의 비대칭성을 나타낸다.12

• 관성 결합(Inertial Coupling): 물체의 회전축이 주축(Principal Axis)과 일치하지 않을 때, x축으로만 토크를 가해도 y축이나 z축 방향의 회전 가속도가 발생한다. 상태 공간 모델로 선형화할 때, 이러한 관성 텐서의 역행렬 \mathbf{J}^{-1}가 \mathbf{A} 행렬에 포함되게 되며, 결과적으로 \mathbf{A} 행렬의 비대각 요소가 0이 아니게 된다. 이는 “한 축의 움직임이 다른 축의 움직임을 유발하는” 물리적 결합을 수학적으로 표현한 것이다.9
• 동역학적 결합(Dynamic Coupling): 로봇 팔(Manipulator)의 경우, 링크 1의 회전 속도가 링크 2에 원심력(Centrifugal Force)이나 코리올리 힘(Coriolis Force)으로 작용한다. 비선형 동역학 식 \mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{G}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}를 선형화하면, 상태 변수(각도 및 각속도)들이 서로 복잡하게 얽힌 \mathbf{A} 행렬을 얻게 된다. 예를 들어, \dot{x}_{vel} 식에 x_{pos} 항이 포함되는 것은 위치에 따른 중력이나 스프링 힘의 영향을 의미하며, \dot{x}_{ang\_vel} 식에 다른 관절의 x_{ang\_vel} 항이 포함되는 것은 코리올리 효과와 같은 속도 의존적 상호작용을 의미한다.10

3.3 고유값 분해와 모드(Mode) 해석

행렬 \mathbf{A}의 결합 구조를 이해하는 또 다른 방법은 고유값 분해(Eigendecomposition)를 이용하는 것이다. \mathbf{A}의 고유값 \lambda_i와 고유벡터 \mathbf{v}_i는 시스템의 고유 모드(Natural Mode)를 정의한다. 좌표 변환 \mathbf{x} = \mathbf{V}\mathbf{z} (여기서 \mathbf{V}는 고유벡터 행렬)를 통해 시스템을 변환하면, 새로운 상태 변수 \mathbf{z}에 대한 시스템 행렬 \mathbf{\Lambda}는 대각 행렬이 된다.
\dot{\mathbf{z}} = \mathbf{\Lambda}\mathbf{z} + \mathbf{V}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{u}
이 변환된 공간(Modal Space)에서는 상태 변수들이 서로 결합하지 않는다. 즉, 원래의 복잡하게 얽힌 상태 \mathbf{x}는, 서로 독립적으로 거동하는 모드 \mathbf{z}들의 선형 결합으로 해석될 수 있다.

• 고유값의 실수부: 모드의 안정성(수렴 또는 발산 속도)을 결정.
• 고유값의 허수부: 모드의 진동 주파수를 결정.
• 고유벡터: 해당 모드가 원래의 상태 공간 상에서 어떤 공간적 패턴(Spatial Pattern)으로 나타나는지를 결정.

양자 역학의 밀도 행렬(Density Matrix) 이론에서 비대각 요소가 양자 상태 간의 ’간섭(Coherence)’을 나타내는 것처럼13, 상태 공간 모델의 비대각 요소는 시스템 모드 간의 에너지 교환 및 상호 의존성을 나타내는 척도라고 할 수 있다.

4. 가제어성(Controllability)과 가관측성(Observability)

1960년, 루돌프 칼만은 논문 “On the General Theory of Control Systems“를 통해 현대 제어 이론의 가장 중요한 두 가지 개념인 가제어성(Controllability)과 가관측성(Observability)을 정립하였다.4 이 개념들은 “주어진 입력으로 시스템을 원하는 상태로 보낼 수 있는가?“와 “출력만 보고 시스템의 내부 상태를 알아낼 수 있는가?“라는 근본적인 질문에 대한 수학적 답을 제공한다. MIMO 시스템에서 이 두 성질은 센서와 액추에이터의 배치 및 개수를 결정하는 설계 기준이 된다.

4.1 가제어성 (Controllability)

4.1.1 정의 및 판별 조건

어떤 선형 시스템이 ’가제어(Controllable)’라는 것은, 유한한 시간 t_f 내에 제약 없는 제어 입력 \mathbf{u}(t)를 가하여 초기 상태 \mathbf{x}(t_0)를 상태 공간 상의 임의의 목표 상태 \mathbf{x}(t_f)로 이동시킬 수 있음을 의미한다.15

n차 시스템 \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u}에 대해 칼만은 다음과 같은 가제어성 행렬(Controllability Matrix) \mathcal{C}를 정의하고, 그 랭크(Rank) 조건을 제시하였다.16
\mathcal{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{AB} & \mathbf{A}^2\mathbf{B} & \cdots & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B} \end{bmatrix}
시스템이 완전 가제어(Completely Controllable)일 필요충분조건은 다음과 같다.
\text{rank}(\mathcal{C}) = n

4.1.2 물리적 해석과 로보틱스 사례: 과소구동 시스템

가제어성 행렬 \mathcal{C}의 각 열벡터는 입력이 상태 공간에 미치는 영향력을 나타낸다. \mathbf{B}는 입력이 직접적으로 변화시키는 방향을, \mathbf{AB}는 시스템의 동역학을 한 번 거쳐 간접적으로 변화시키는 방향을 의미한다. 이 벡터들이 n차원 공간 전체를 생성(Span)할 수 있어야 모든 상태를 제어할 수 있다는 뜻이다.

• 직렬 역진자(Cart-Pole) 시스템: 수레 위에 막대기가 자유 관절로 연결된 시스템을 생각해 보자. 입력은 수레를 미는 힘 F 하나뿐(m=1)이지만, 상태 변수는 수레의 위치/속도와 막대의 각도/각속도 등 4개(n=4)이다. 이는 대표적인 과소구동(Underactuated) 시스템이다. 하지만 이 시스템은 가제어이다. 입력 힘은 수레의 가속도에만 직접 영향을 주지만(\mathbf{B}), 수레가 움직이면 관성력과 중력의 상호작용(\mathbf{A})에 의해 막대기가 움직인다. 즉, 동역학적 결합(Coupling) 덕분에 직접 제어할 수 없는 막대의 상태까지 간접적으로 제어할 수 있게 되는 것이다.18
• 랭크 부족의 의미: 만약 \text{rank}(\mathcal{C}) < n이라면, 제어 입력으로 도달할 수 없는 ’제어 불가능한 부분 공간(Uncontrollable Subspace)’이 존재한다. 예를 들어, 쿼드로터의 모터 4개 중 2개가 고장 나면 횡 방향 이동이나 요(Yaw) 회전을 독립적으로 제어할 수 없게 되며, 이때 랭크가 감소하여 시스템은 제어 불가능 상태가 된다.19

4.2 가관측성 (Observability)

4.2.1 정의 및 판별 조건

어떤 시스템이 ’가관측(Observable)’이라는 것은, 유한한 시간 구간 [t_0, t_f] 동안의 출력 \mathbf{y}(t)와 입력 \mathbf{u}(t)를 관측함으로써 초기 상태 \mathbf{x}(t_0)를 유일하게 결정할 수 있음을 의미한다.15

칼만은 가관측성 행렬(Observability Matrix) \mathcal{O}를 다음과 같이 정의하였다.16
\mathcal{O} = \begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{C}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^2 \\ \vdots \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix}
시스템이 완전 가관측(Completely Observable)일 필요충분조건은 다음과 같다.
\text{rank}(\mathcal{O}) = n

4.2.2 쌍대성(Duality)과 센서 융합

칼만은 가제어성과 가관측성이 수학적으로 쌍대(Dual) 관계임을 증명하였다.4 시스템 (\mathbf{A}, \mathbf{B})의 가제어성 문제는 시스템 (\mathbf{A}^T, \mathbf{C}^T)의 가관측성 문제와 동일하다. 이는 제어(입력을 통해 상태를 바꿈)와 추정(출력을 통해 상태를 읽음)이 동전의 양면과 같음을 시사한다.

MIMO 시스템에서 가관측성은 센서 배치 전략의 핵심이다.

• GPS 없는 드론의 위치 추정: 드론에 가속도계(Accelerometer)만 있다고 가정해 보자. 가속도(\ddot{x})는 위치(x)의 2계 도함수이다. \mathbf{y} = \ddot{x}일 때 위치 상태 x를 알 수 있을까? 수학적으로 적분 상수를 결정할 수 없으므로 가관측성이 상실되거나 매우 약하다(Weak Observability). 이를 해결하기 위해 GPS(위치 직접 측정)나 카메라(Visual Odometry)와 같은 이종 센서를 결합하는 **센서 융합(Sensor Fusion)**이 필요하다.
• 칼만 필터(Kalman Filter): 가관측성이 보장된다면, 잡음이 섞인 센서 데이터로부터 실제 상태를 최적으로 추정해 내는 칼만 필터를 설계할 수 있다.5 칼만 필터의 수렴 조건은 시스템의 가관측성과 직결되어 있다.

4.3 칼만 분해 (Kalman Decomposition)

모든 선형 시스템은 상태 공간의 적절한 좌표 변환을 통해 다음 4가지 하위 시스템(Subsystem)으로 명확히 분리될 수 있다. 이를 **칼만 분해(Kalman Decomposition)**라 한다.4

1. 가제어이고 가관측인 부분 (S_{co}): 입력에 반응하고 출력으로 관측되는 부분. 전달 함수 G(s)는 오직 이 부분에 의해서만 결정된다.
2. 가제어이지만 비가관측인 부분 (S_{c\bar{o}}): 입력으로 제어는 되지만 출력에는 나타나지 않는 부분.
3. 비가제어이지만 가관측인 부분 (S_{\bar{c}o}): 출력으로 관측은 되지만 입력으로 영향을 줄 수 없는 부분. (예: 시스템에 영향을 주는 외부 진동 외란)
4. 비가제어이고 비가관측인 부분 (S_{\bar{c}\bar{o}}): 외부와 완전히 단절된 내부 동역학.

이 분해 이론은 “전달 함수에 나타나지 않는 숨겨진 모드(Hidden Mode)“의 존재를 드러낸다. 만약 비가제어 부분이 불안정(Unstable)하다면, 아무리 좋은 제어기를 설계해도 시스템 전체는 발산하여 파괴될 수 있다. 따라서 현대 제어 설계에서는 시스템이 **안정화 가능(Stabilizable)**하고 **검출 가능(Detectable)**한지를 확인하는 것이 필수적이다. 안정화 가능성은 비가제어 모드가 안정할 것을, 검출 가능성은 비가관측 모드가 안정할 것을 요구한다.15

5. MIMO 시스템 해석 사례 연구: 쿼드로터(Quadrotor)

이론적 배경을 바탕으로, 대표적인 MIMO 로봇 시스템인 쿼드로터(드론)의 상태 공간 모델을 구체적으로 분석해 보자. 쿼드로터는 기계적 구조의 단순함에도 불구하고, 6자유도 운동을 4개의 입력으로 제어해야 하는 전형적인 과소구동 시스템이며, 상태 변수 간의 강력한 결합을 보여주는 훌륭한 예제이다.19

5.1 상태 벡터와 입력 벡터의 정의

쿼드로터의 동역학을 기술하기 위해 12개의 상태 변수를 정의한다.19
\mathbf{x} = [x, y, z, \phi, \theta, \psi, u, v, w, p, q, r]^T

• 위치 및 자세 (6개): 관성 좌표계(Earth Frame) 기준의 위치 (x, y, z)와 오일러 각 (\phi, \theta, \psi) (Roll, Pitch, Yaw).
• 선속도 및 각속도 (6개): 기체 좌표계(Body Frame) 기준의 선속도 (u, v, w)와 각속도 (p, q, r).

입력 벡터 \mathbf{u}는 4개의 로터 회전 속도(\Omega_1, \dots, \Omega_4)의 조합으로 생성되는 힘과 모멘트이다.
\mathbf{u} = [U_1, U_2, U_3, U_4]^T

• U_1: 총 추력 (Thrust, z축 방향 힘)
• U_2: 롤 모멘트 (Roll Torque)
• U_3: 피치 모멘트 (Pitch Torque)
• U_4: 요 모멘트 (Yaw Torque)

5.2 운동 방정식과 선형화 (Linearization)

쿼드로터의 운동 방정식은 회전 행렬, 코리올리 효과, 자이로스코프 효과 등으로 인해 고도로 비선형적이다. 예를 들어 가속도 방정식은 다음과 같은 형태를 띤다.19
\begin{aligned} \dot{u} &= (vr - wq) + g\sin\theta \\ \dot{v} &= (wp - ur) - g\sin\phi\cos\theta \\ \dot{w} &= (uq - vp) - g\cos\phi\cos\theta + \frac{1}{m}U_1 \end{aligned}
제어기 설계를 위해 호버링(Hovering) 상태(\phi \approx 0, \theta \approx 0, \psi \approx \text{const}) 근처에서 작은 변화(Small Perturbation)를 가정하여 자코비안 선형화(Jacobian Linearization)를 수행한다.23 그 결과 \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u} 형태의 선형 모델을 얻게 된다.

5.3 시스템 행렬의 구조와 결합 해석

선형화된 \mathbf{A} 행렬은 쿼드로터의 물리적 거동 특성을 극명하게 보여준다. \mathbf{A} 행렬은 대략 다음과 같은 구조를 가진다.
\mathbf{A} \approx \begin{bmatrix} \mathbf{0}_{6 \times 6} & \mathbf{I}_{6 \times 6} \\ \mathbf{A}_{gravity} & \mathbf{0}_{6 \times 6} \end{bmatrix}
여기서 주목할 점은 \mathbf{A}_{gravity} 부분에 있는 중력 가속도 g와 관련된 항들이다.
\dot{v} \approx -g\phi, \quad \dot{u} \approx g\theta
이 식들은 \mathbf{A} 행렬의 비대각 요소로 표현된다. 이는 **“롤 각도(\phi)가 생기면 y축 방향 가속도(\dot{v})가 발생한다”**는 물리적 사실을 수학적으로 나타낸 것이다. 즉, 쿼드로터가 옆으로 이동하려면(Translation), 반드시 몸체를 기울여야(Rotation) 함을 보여준다. 이것이 바로 회전 운동과 병진 운동 사이의 **MIMO 결합(Coupling)**이다.

이 결합 항(g)이 존재하기 때문에, 우리는 롤 모멘트 U_2만을 조절하여 (\phi를 변화시키고), 결과적으로 y축 위치까지 제어할 수 있게 된다. 이것이 과소구동 시스템인 쿼드로터가 가제어성(Rank(\mathcal{C}) = 12)을 확보하게 되는 핵심 메커니즘이다.19 만약 이 결합 항이 0이었다면, 쿼드로터는 제자리에서 회전만 할 뿐 이동은 불가능했을 것이다.

6. 결론 및 현대 제어로의 확장

본 장에서는 1960년대 루돌프 칼만 주도하에 태동한 현대 제어 이론의 핵심, 상태 공간 모델을 MIMO 시스템을 중심으로 고찰하였다. 고전적인 전달 함수 모델이 입출력 관계라는 현상론적 접근에 머물렀다면, 상태 공간 모델은 시스템의 내부 구조와 에너지 흐름을 투명하게 드러내는 존재론적 접근법이라 할 수 있다.

우리는 시스템 행렬 \mathbf{A}의 비대각 요소가 단순한 숫자가 아니라, 시스템 내부의 물리적 상호작용과 에너지 교환을 나타내는 ’결합(Coupling)’의 지표임을 확인하였다. 특히 로보틱스 분야에서 이러한 결합은 관성 텐서의 비대칭성이나 코리올리 힘과 같은 동역학적 현상으로 구체화되며, 이를 이해하는 것이 제어 설계의 첫걸음이다.

또한 칼만이 정립한 가제어성과 가관측성 이론은 MIMO 시스템 설계에 있어 다음과 같은 중요한 공학적 가이드라인을 제시한다.

1. 가제어성: 과소구동 시스템이라 할지라도, 시스템 내부의 동역학적 결합을 적절히 활용하면(즉, 랭크 조건이 만족되면) 적은 수의 액추에이터로도 전체 시스템을 제어할 수 있다.
2. 가관측성: 모든 상태를 직접 측정하지 않아도, 수학적 모델과 출력 간의 관계(쌍대성)를 이용하면 내부 상태를 정확히 추정할 수 있다. 이는 센서 비용 절감과 시스템 경량화에 기여한다.

이러한 상태 공간 해석은 이후 최적 제어(LQR), 강인 제어(Robust Control), 비선형 제어 등 현대 제어 기법들의 토대가 되었다. 다음 장에서는 본 장에서 다룬 상태 공간 모델을 바탕으로, 에너지를 최소화하면서 목표 상태에 도달하는 최적 제어 기법인 LQR(Linear Quadratic Regulator) 설계법에 대해 심도 있게 다루도록 한다.

7. 참고 자료

1. Time Domain Analysis vs Frequency Domain Analysis: A Guide and Comparison, https://resources.pcb.cadence.com/blog/2020-time-domain-analysis-vs-frequency-domain-analysis-a-guide-and-comparison
2. Time domain Vs Frequency domain - PCB HERO, https://www.pcb-hero.com/blogs/lickys-column/time-domain-vs-frequency-domain
3. LU-1 Introduction to MIMO systems - Uni DUE, https://www.uni-due.de/imperia/md/content/srs/lehrangebot/akt-veranstaltungen/v-cth/skript/v-cth-1-2_wise13.pdf
4. Rudolf E. Kálmán - Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Rudolf_E._K%C3%A1lm%C3%A1n
5. The Seminal Kalman Filter Paper (1960) - UNC Computer Science, https://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/kalmanPaper.html
6. On The General Theory of Control Systems | PDF | Basis (Linear Algebra) - Scribd, https://www.scribd.com/document/852897628/On-the-General-Theory-of-Control-Systems
7. On the General Theory of Control Systems, https://www.control.utoronto.ca/~broucke/ece557f/kalman.pdf
8. From Kálmán to Kubernetes: A History of Observability in IT - Broadcom Software Academy, https://academy.broadcom.com/blog/aiops/from-kalman-to-kubernetes-a-history-of-observability-in-it
9. MIMO State-Space Models - MATLAB & Simulink - MathWorks, https://www.mathworks.com/help/control/ug/mimo-state-space-models.html
10. State Space model for a MIMO, coupled system - Electrical Engineering Stack Exchange, https://electronics.stackexchange.com/questions/309250/state-space-model-for-a-mimo-coupled-system
11. State-Space Model Definitions - NI - National Instruments, https://www.ni.com/docs/en-US/bundle/labview-advanced-signal-processing-toolkit/page/state-space-model-definitions-advanced-signal.html
12. What’s the physical significance of the off-diagonal element in the matrix of moment of inertia, https://physics.stackexchange.com/questions/60843/whats-the-physical-significance-of-the-off-diagonal-element-in-the-matrix-of-mo
13. What’s the significance of the off-diagonal elements of a density matrix? : r/Physics - Reddit, https://www.reddit.com/r/Physics/comments/1y46yy/whats_the_significance_of_the_offdiagonal/
14. What do the off-diagonal elements of a density matrix physically represent?, https://quantumcomputing.stackexchange.com/questions/15792/what-do-the-off-diagonal-elements-of-a-density-matrix-physically-represent
15. Lecture 3: Stability, Controllability & Observability, https://intra.engr.ucr.edu/~enozari/teaching/ME120_Fall20/Lecture%203%20-%20Stability,%20Controllability%20&%20Observability.pdf
16. Controllability and observability - System Book, http://sysbook.sztaki.hu/sysbook6.php?page=89&lang=en&left=text&right=edu
17. Controllability and Observability in Control System - GeeksforGeeks, https://www.geeksforgeeks.org/electrical-engineering/controllability-and-observability-in-control-system/
18. Acrobots, Cart-Poles, and Quadrotors - Underactuated Robotics - MIT, https://underactuated.mit.edu/acrobot.html
19. Asymmetric Quadrotor Modeling and State-Space System Identification, https://par.nsf.gov/servlets/purl/10318610
20. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems - SciSpace, https://scispace.com/pdf/a-new-approach-to-linear-filtering-and-prediction-problems-1f1lkk9j5b.pdf
21. Controllability and Observability, https://orb.binghamton.edu/cgi/viewcontent.cgi?filename=9&article=1002&context=electrical_fac&type=additional
22. Quadcopter Modeling and Linear Quadratic Regulator Design Using Simulink - uu .diva, https://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:1870673/FULLTEXT01.pdf
23. Transformed Structural Properties Method to Determine the Controllability and Observability of Robots - MDPI, https://www.mdpi.com/2076-3417/11/7/3082
24. Quadrotor System Modeling - Non-linear Equations of Motion - Wil Selby, https://wilselby.com/research/arducopter/modeling/
25. LECTURES ON CONTROLLABILITY AND OBSERVABILITY - DTIC, https://apps.dtic.mil/sti/tr/pdf/AD0704617.pdf
26. [PDF] A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems - Semantic Scholar, https://www.semanticscholar.org/paper/A-New-Approach-to-Linear-Filtering-and-Prediction/255a77422b1da74da05d1714b7875356187385bd
27. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems - SciSpace, https://scispace.com/papers/a-new-approach-to-linear-filtering-and-prediction-problems-1f1lkk9j5b
28. ELI5 what is the difference between Time Domain vs Frequency Domain in signal processing ? : r/explainlikeimfive - Reddit, https://www.reddit.com/r/explainlikeimfive/comments/1m7ou0i/eli5_what_is_the_difference_between_time_domain/
29. Differences between Frequency Domain and Time Domain - NI, https://www.ni.com/docs/en-US/bundle/labwindows-cvi/page/advancedanalysisconcepts/freq_time_domain_diffs.html
30. What’s The Difference Between Time Domain and Frequency Domain Analysis? - Maury Microwave, https://maurymw.com/whats-the-difference-between-time-domain-and-frequency-domain-analysis/
31. Modified Linear Technique for the Controllability and Observability of Robotic Arms - IEEE Xplore, https://ieeexplore.ieee.org/iel7/6287639/6514899/09667518.pdf
32. Energy-Coupling-Based Control for Unmanned Quadrotor Transportation Systems: Exploiting Beneficial State-Coupling Effects - MDPI, https://www.mdpi.com/2076-0825/14/2/91